已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1f(x)．设F（x）=1-f(x)1+f(x)．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=

f(x)

．设F（x）=

1-f(x)

1+f(x)

．
（1）求函数y=F（x）值域和零点；
（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（-x）=

f(x)

，
∴F（x）=

1-f(x)

1+f(x)

=-1+

1+f(x)

，
∵f（x）＞0，∴0＜

1+f(x)

＜1
∴-1＜F（x）＜1，
故y=F（x）的值域为（-1，1）；----------------------------------------（4分）
∵f（-x）=

f(x)

，
∴令x=0，f（0）=±1，
∵f（x）＞0，∴f（0）=1．
故y=F（x）的零点为x=0------------------------------------------------（4分）
（2）对任意的x∈R，F（-x）=

1-f(-x)

1+f(-x)

1-f(x)

1+f(x)

=-F（x），--------（3分）
∴y=F（x）是奇函数．-------------------------------------------（2分）
由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，
∴对任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜0．
又F（x₁）-F（x₂）=

1+f(x₁)

1+f(x₂)

f(x₂)-f(x₁)

[1+f(x₁)][1+f(x₂)]

＞0．------------（3分）
∴y=F（x）在定义域R上是减函数．-----------------------------------------------------（2分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1f(x)．设F（x）=1-f(x)1+f(x)．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．试题及答案-单选题-云返教育

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