年级：: 全部; 一年级; 二年级; 三年级; 四年级; 五年级; 六年级

年级：: 全部; 初一; 初二; 初三

年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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已知函数f(x)=2x+2-x2x-2-x （1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

2^x+2^-x

2^x-2^-x

（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性．

试题解答

见解析

解：（1）f(x)=

2^x+2^-x

2^x-2^-x

4^x+1

4^x-1

要使函数成立，需满足4^x≠1，即4^x≠4⁰，解得≠0
∴定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由y=

4^x+1

4^x-1

?4^x=

y+1

y-1

＞0?y＞1或y＜-1
∴函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0）
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

4^x₂+1

4^x₂-1

4^x₁+1

4^x₁-1

2(4^x₁-4^x₂)

(4^x₂-1)(4^x₁-1))

∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴4^x₁-1＞0，4^x₂-1＞0，4^x₁-4^x₂＜0，
∴

2(4^x₁-4^x₂)

(4^x₂-1)(4^x₁-1))

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

4^x₂+1

4^x₂-1

4^x₁+1

4^x₁-1

2(4^x₁-4^x₂)

(4^x₂-1)(4^x₁-1))

∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴4^x₁-1＜0，4^x₂-1＜0，4^x₁-4^x₂＜0，
∴

2(4^x₁-4^x₂)

(4^x₂-1)(4^x₁-1))

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=2x+2-x2x-2-x （1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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试题解答

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