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  • 已知函数f（x）=logax+bx-b（a＞0，a≠1，b＞0）．???1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）讨论f（x）的单调性，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=loga
      x+b
      x-b
      （a＞0，a≠1，b＞0）．
      ???1）求f（x）的定义域；
      （2）判断f（x）的奇偶性；
      （3）讨论f（x）的单调性，并证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为
      x+b
      x-b
      ＞0，解之得x＜-b或x＞b，
      ∴函数的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）
      （2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间
      f（-x）=log      a
      -x+b
      -x-b
      =loga
      x-b
      x+b
      ，
      ∵-f（x）=log      a（
      x+b
      x-b
      ）-1=loga
      x-b
      x+b
      ，
      ∴f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）
      （3）证明：设b＜x      1＜x2，则
      f（x      1）-f（x2）=loga
      (x1+b)(x2-b)
      (x2+b)(x1-b)
      ，
      ∵
      (x1+b)(x2-b)
      (x2+b)(x1-b)
      -1=
      2b(x2-x1)
      (x2+b)(x1-b)
      ＞0
      ∴当a＞1时，f（x      1）-f（x2）＞0，可得f（x1）＞f（x2），f（x）在（b，+∞）上为减函数；
      当0＜a＜1时，f（x      1）-f（x2）＜0，可得f（x1）＜f（x2），f（x）在（b，+∞）上为增函数．
      同理可得：当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）上为增函数．
      综上所述，当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为增函数．…（12分）
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