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  • 已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
      （1）求证：f（x）是偶函数；
      （2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），
      ∴f（1）=0．
      令x      1=x2=-1，得f（-1）=0．
      ∴f（-x）=f（-1?x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
      ∴f（x）是偶函数．

      （2）证明：设x      2＞x1＞0，则
      f（x      2）-f（x1）=f（x1?
      x2
      x1
      ）-f（x1）
      =f（x      1）+f（
      x2
      x1
      ）-f（x1）=f（
      x2
      x1
      ）．
      ∵x      2＞x1＞0，∴
      x2
      x1
      ＞1．
      ∴f（
      x2
      x1
      ）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0．
      ∴f（x      2）＞f（x1）．
      ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
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