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  • 已知函数f(x)=x+3x：（1）写出此函数的定义域和值域；（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x+3
      x
      ：
      （1）写出此函数的定义域和值域；
      （2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；
      （3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．

      试题解答

      见解析
      （1）解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
      f(x)=1+
      3
      x
      ，∴值域为{y|y≠1}．
      （2）证明：设0＜x      1＜x2，
      则：f(x      2)-f(x1)=(1+
      3
      x2
      )-(1+
      3
      x1
      )=
      3
      x2
      -
      3
      x1
      =
      3(x1-x2)
      x1?x2
      ，
      ∵0＜x      1＜x2，∴x1?x2＞0，x1-x2＜0，
      ∴f（x      2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
      ∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
      （3）解：函数定义域关于原点对称，
      设g(x)=(x-3)f(x)=
      x2-9
      x
      ，
      ∵g(-x)=
      x2-9
      -x
      =-g(x)，
      ∴此函数为奇函数．
      标签
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