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  • 已知函数f（x）=，且a＜1．（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）设函数g（x）=x?f（x）+|x2-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并比较与4的大小．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=，且a＜1．
      （1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
      （2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
      （3）设函数g（x）=x?f（x）+|x      2-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并比较与4的大小．

      试题解答

      见解析
      （1）由题得：f（x）=x++a，设1≤x1＜x2，
      则
      =（x      1-x2），
      ∵1≤x      1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞1，又a＜1，得x1x2-a＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x）在[1，+∞）上为增函数．
      （2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，
      要满足f（5-2m）＜f（3m）
      只要1≤5-2m＜3m，
      ∴m的取值范围为：1＜m≤2．
      （3）g（x）=x?f（x）+|x      2-1|+（k-a）x-a=x2+kx+|x2-1|
      g（x）=0在（0，2）上有两个解x      1，x2，不妨设0＜x1＜x2＜2，
      g（x）=      ，
      所以g（x）在（0，1]是单调函数，
      故g（x）=0在（0，1]上至多一个解，
      若1＜x      1＜x2＜2，则x1x2=-＜0，
      故不符题意，
      因此0＜x      1≤1＜x2＜2．
      由g（x      1）=0得k=-，所以k≤-1；
      由g（x      2）=0得k=，所以-＜k＜-1；
      故当-      ＜k＜-1时，方程g（x）=0在（0，2）上有两个解．
      方法一：因为0＜x      1≤1＜x2＜2，
      所以k=-      ，2x22+kx2-1=0
      消去k得2x      1x22-x1-x2=0
      即      ，因为x2＜2，
      所以      ＜4．
      方法二：由g（x      1）=0得x1=-
      由2x      2+kx-1=0得x=；
      因为x      2∈（1，2），所以x2=．
      则      =-k+=．
      而y=      =在上是减函数，
      则      ＜=4．
      因此，      ＜4．
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