已知函数f（x）=是定义域为（-1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）若实数t满足f（2t-1）+f（t-1）＜0，求实数t的范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

是定义域为（-1，1）上的奇函数，且

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）若实数t满足f（2t-1）+f（t-1）＜0，求实数t的范围．

试题解答

见解析

（1）函数f（x）=

是定义域为（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）
又f（1）=

，∴a=1；…（5分）
∴

…（5分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则x₂-x₁＞0，
于是f（x₂）-f（x₁）=

，
又因为-1＜x₁＜x₂＜1，则1-x₁x₂＞0，

，

，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1）； …（6分）
又由已知函数f（x）是（-1，1）上的奇函数，∴f（-t）=-f（t）…（8分）
∴f（2t-1）＜f（1-t）…（3分）
由（2）可知：f（x）是（-1，1）上的增函数，…（10分）
∴2t-1＜1-t，t＜