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  • 已知指数函数y=g（x???满足：g（2）=4，定义域为R上的函数是奇函数．（Ⅰ）求y=g（x）与y=f（x）的解析式；（Ⅱ）判断y=f（x）在R上的单调性并用单调性定义证明；（Ⅲ）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，试证：-1＜3f（b）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知指数函数y=g（x???满足：g（2）=4，定义域为R上的函数是奇函数．
      （Ⅰ）求y=g（x）与y=f（x）的解析式；
      （Ⅱ）判断y=f（x）在R上的单调性并用单调性定义证明；
      （Ⅲ）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，试证：-1＜3f（b）＜0．

      试题解答

      见解析
      （I）设g（x）=ax（a＞0，a≠1），由g（2）=4得a=2，故g（x）=2x，…（2分）
      ∵函数      =是奇函数
      ∴f（0）=      =0
      ∴n=1；又由f（1）=-f（-1）知      =-，解得m=1
      ∴f（x）=
      （II）f（x）=      在（-∞，+∞）上为减函数，理由如下：
      设x      1，x2∈R，且x1＜x2，
      ∴      ＜，1+＞0，1+＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）=-=＞0
      即f（x      1）＞f（x2）
      故f（x）=      在（-∞，+∞）上为减函数
      证明：（III）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，
      即      =-1=b在（-∞，0）上有解，
      ∵此时2      x∈（0，1）
      ∴      -1∈（0，1）
      从而b∈（0，1）
      由（II）得f（x）=      在（-∞，+∞）上为减函数
      ∴f（1）＜f（b）＜f（0）．
      即      ＜f（b）＜0
      即：-1＜3f（b）＜0
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