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已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x，y），记直线AB的斜率为k，①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x）；②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx（abc≠0）．
（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点为C（x，y），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax²+bx+c，求证：k=f′（x）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．

试题解答

见解析

（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+

=

恒成立．
∴2ax²+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=

=2ax+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x）=2ax+b
即k=f′（x）
（2）②
不妨设x₂＞x₁，对于伪二次函数g（x）=ax²+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=

如果有①的性质，则g′（x）=k
∴

即∴

，
令

，t＞1，则

设s（t）=lnt-

，则

∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax²+bx+clnx不具有①的性质．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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