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已知函数，其中a＞0且a≠1．（1）分别判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；（2）比较f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；（3）比较与、与的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数

，其中a＞0且a≠1．
（1）分别判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（2）比较f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；
（3）比较

与

、

与

的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．

试题解答

见解析

（1）

，
若0＜a＜1，则

，lna＜0，所以f^/（x）＞0；
若a＞1，则

，lna＞0，所以f^/（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f^/（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．
（2）直接计算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根据基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因为

=

，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假设?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
记g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]

，

．与（1）类似地讨论知，对?x＞0和?a＞0且a≠1都有g^/（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的单调递增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
（3）

，

，

，
根据基本不等式

，

，
所以

．
假设?x＞0，

．
记

，x＞0，

，
设

，
则h（0）=0且

，
类似（1）的讨论知

，
从而h（x）＞h（0）=0，g^/（x）＞0，g（x）在R⁺上单调增加，
所以?x＞0，

．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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