设函数f（x）=+，（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数f-1（x），问函数y=f-1（x）的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）=

，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f^-1（x），问函数y=f^-1（x）的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．

见解析

（1）由3x+5≠0且

＞0，解得x≠-

且-

＜x＜

．取交集得-

＜x＜

．
（2）令μ（x）=3x+5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

=-1+

随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
又y=lgx在定义域内是增函数，根据复合函数的单调性可知，y=

是减函数，所以f（x）=

是减函数．
（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f（x）的反???数f^-1（x）与x轴的交点为（x，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x），将（0，x）代入f（x），解得x=

．
所以函数y=f^-1（x）的图象与x轴有交点，交点为（

，0）．

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