设定义在[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：①对于x∈[0，2]，总有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；②对于x，y∈[1，2]，若x+y≥3，则f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．证明：（1）对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1（2）（n∈N*）；（3）x∈[1，2]时，1≤f（x）≤13-6x．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设定义在[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：
①对于x∈[0，2]，总有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；②对于x，y∈[1，2]，若x+y≥3，则f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．
证明：（1）对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1
（2）

（n∈N^*）；
（3）x∈[1，2]时，1≤f（x）≤13-6x．

试题解答

见解析

（1）由f（2-x）=f（x）知，函数f（x）图象关于直线x=1对称，则根据②可知：对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
两者结合即得；
（2）先利用单调函数的定义证明f（x）在[0，1]上是不减函数，利用

，进行放缩结合等比数列的求和即得；（3）对于任意x∈（0，1]，则必存在正整数n，使得

．因为f（x）在（0，1）上是不减函数，所以

，由（2）知

，结合题中条件充分利用赋值法及不等式的性质即可．
证明：（1）由f（2-x）=f（x）知，函数f（x）图象关于直线x=1对称，
则根据②可知：对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1．…（2分）
（2）设x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁∈[0，1]．
∵f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1≥0，
∴f（x）在[0，1]上是不减函数．…（4分）
∵