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  • 已知函数的图象为曲线C，函数的图象为直线l．（Ⅰ） 设m＞0，当x∈（m，+∞）时，证明：（Ⅱ） 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数的图象为曲线C，函数的图象为直线l．
      （Ⅰ） 设m＞0，当x∈（m，+∞）时，证明：
      （Ⅱ） 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x      1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）构造函数H（x）=（x+m）ln-2（x-m），x∈（m，+∞），通过导数法可研究出H（x）在x∈（m，+∞）单调递增，而H（m）=0，从而可使结论得证；
      （Ⅱ）可利用分析法，不妨设0＜x      1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证（x1+x2）[a（x1+x2）+b]＞2，只需证（x1+x2）[a+bx2-（a+bx1）]＞2（x2-x1），结合（Ⅰ）的结论即可使问题解决．
      证明：（1）令H（x）=（x+m）ln      -2（x-m），x∈（m，+∞），
      则H（m）=0，要证明（x+m）ln      -2（x-m）＞0，
      只需证H（x）=（x+m）ln      -2（x-m）＞H（m），
      ∵H′（x）=ln      +-1，
      令G（x）=ln      +-1，G′（x）=-，
      由G′（x）=      ＞0得，x＞m，
      ∴G（x）在x∈（m，+∞）单调递增，
      ∴G（x）＞G（m）=0
      H'（x）＞0，H（x）在x∈（m，+∞）单调递增．
      H（x）＞H（m）=0，
      ∴H（x）=（x+m）ln      -2（x-m）＞0，
      （2）不妨设0＜x      1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，
      只需证（x      1+x2）[a（x1+x2）+b]＞2，
      只需证（x      1+x2）[a+bx2-（a+bx1）]＞2（x2-x1），
      ∵      =ax1+b，=ax2+b，
      即（x      1+x2）ln＞2（x2-x1） ，
      而由（1）知       成立．
      所以（x      1+x2）g（x1+x2）＞2
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