已知a∈R，函数f （x）=-x3+ax2+2ax （x∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；（Ⅱ）函数f （x）能否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不能，请说明理由；（Ⅲ）若函数f （x）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知a∈R，函数f （x）=-

x³+

ax²+2ax （x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）函数f （x）能否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）若函数f （x）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围．

试题解答

见解析

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-

x³+

x²+2x，
∴f'（x）=-x²+x+2，（2分）
令f'（x）＞0，即-x²+x+2＞0，解得-1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，2）；（5分）
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递减，则f'（x）≤0对x∈R都成立，
即-x2+ax+2a≤0对x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0对x∈R都成立．（7分）
∴△=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0．
∴当-8≤a≤0时，函数f（x）能在R上单调递减；（10分）
（Ⅲ）∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]都成立，∴-x2+ax+2a≥0对x∈[-1，1]都成立．
∴a（x+2）≥x2对x∈[-1，1]都成立，即a≥