函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．
（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），
则

{

x₀+x

y₀+y

即

{	x₀=-x y₀=-y.

∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，故g（x）=-x²+2x
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0
当x≥1时，2x²-x+1≤0，此时不等式无解．
当x＜1时，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤

．
因此，原不等式的解集为[-1，

]．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1
①当λ=-1时，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1
②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=

1-λ

1+λ

．
ⅰ）当λ＜-1时，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1．
ⅱ）当λ＞-1时，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0．综上，λ≤0．

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