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  • 已知函数f（x）=lnx，g（x）=12ax2+bx，a≠0．（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lnx，g（x）=
      1
      2
      ax2+bx，a≠0．
      （Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
      （Ⅱ）设函数f（x）的图象C      1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）b=2时，h（x）=lnx-
      1
      2
      ax2-2x，
      则h′（x）=
      1
      x
      -ax-2=-
      ax2+2x-1
      x
      ．
      因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解．
      又因为x＞0时，则ax      2+2x-1＞0有x＞0的解．
      ①当a＞0时，y=ax      2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
      ②当a＜0时，y=ax      2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
      则△=4+4a≥0，且方程ax      2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1≤a＜0．
      综上所述，a的取值范围为[-1，0）∪（0，+∞）．
      （Ⅱ）设点P、Q的坐标分别是（x      1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．
      则点M、N的横坐标为x=
      x1+x2
      2
      ，
      C      1在点M处的切线斜率为k1=
      1
      x
      ，x=
      x1+x2
      2
      ，k1=
      2
      x1+x2
      ，
      C      2在点N处的切线斜率为k2=ax+b，x=
      x1+x2
      2
      ，k2=
      a(x1+x2)
      2
      +b．
      假设C      1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
      即
      2
      x1+x2
      =
      a(x1+x2)
      2
      +b，
      则
      2(x2-x1)
      x1+x2

      =
      a
      2
      （x22-x12）+b（x2-x1）
      =
      a
      2
      （x22+bx2）-（
      a
      2
      x12+bx1）
      =y      2-y1
      =lnx      2-lnx1．
      所以ln
      x2
      x1
      =
      2(
      x2
      x1
      -1)
      1+
      x2
      x1
      ．设t=
      x2
      x1
      ，则lnt=
      2(t-1)
      1+t
      ，t＞1①
      令r（t）=lnt-
      2(t-1)
      1+t
      ，t＞1．则r′t=
      1
      t
      -
      4
      (t+1)2
      =
      (t-1)2
      t(t+1)2
      ．
      因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
      则lnt＞
      2(t-1)
      1+t
      ．这与①矛盾，假设不成立．
      故C      1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
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