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对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];(2)判断函数f(x)=x2是不是闭函数,若是,请找出区间[a,b],若不是,请另增加一个条件,使f(x)是闭函数.(3)若函数y=k+√x+2是闭函数,且在定义域内是增函数,求实数k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:
①f(x)在D内单调递增或单调递减;
②存在区间[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=-x
3
符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)=x
2
是不是闭函数,若是,请找出区间[a,b],若不是,请另增加一个条件,使f(x)是闭函数.
(3)若函数y=k+
√
x+2
是闭函数,且在定义域内是增函数,求实数k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由题意,∵y=-x
3
在[a,b]上递减,要使g(x)在[a,b]上的值域为[a,b]
则需
{
b=-a
3
a=-b
3
b>a
解得
{
a=-1
b=1
∴所求的区间为[-1,1]
(2)∵函数f(x)=x
2
的定义域为R,但在[0,+∞)是增函数,在(-∞,0]上是减函数,∴f(x)在R上不满足条件①,∴f(x)不是闭函数.
若D=[0,+∞),则f(x)是D上的增函数,满足条件①,设满足条件②的区间为[a,b],
则
{
0≤a<b
a
2
=a
b
2
=b
?
{
a=0
b=1
∴存在区间[a,b]=[0,1]使f(x)满足条件②
∴f(x)=x
2
(x∈[0,+∞))是闭函数,增加的条件是:D=[0,+∞).
(3)∵函数y=k+
√
x+2
在[-2,+∞)单调递增,若y=k+
√
x+2
是闭函数,
则存在区间[a,b]?[-2,+∞),使得在区间[a,b]上值域为[a,b],
即
{
a=k+
√
a+2
b=k+
√
b+2
,
∴a,b为方程x=k+
√
x+2
的两个实数根,
即方程x
2
-(2k+1)x+k
2
-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实根.
令h(x)=x
2
-(2k+1)x+k
2
-2
有
{
△>0
f(-2)≥0
f(k)≥0
2k+1
2
>-2
,解得-
9
4
<k≤-2.
∴k的取值范围为(-
9
4
,-2].
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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