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  • （1）求证：函数f（x）=x+ax是奇函数；（2）已知函数g（x）=x+1x在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数；函数g（x）=x+4x在区间（0???2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数；猜想出函数g（x）=x+b2x，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调区间；（3）指出函数h（x）=x+8x，x∈（-∞，0）在什么时候取最大值，最大值是多少．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （1）求证：函数f（x）=x+
      a
      x
      是奇函数；
      （2）已知函数g（x）=x+
      1
      x
      在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数；函数g（x）=x+
      4
      x
      在区间（0???2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数；猜想出函数g（x）=x+
      b2
      x
      ，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调区间；
      （3）指出函数h（x）=x+
      8
      x
      ，x∈（-∞，0）在什么时候取最大值，最大值是多少．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数的定义域为：{x|x≠0}，
      任意x∈{x|x≠0}，则f（-x）=-x+
      a
      -x
      =-(x+
      a
      x
      ) =-f(x)，
      ∴函数f（x）=x+
      a
      x
      是奇函数；
      （2）∵函数g（x）=x+
      1
      x
      在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，
      √1
      ）上是单调减函数，在区间（
      √1
      ，+∞）上是单调增函数；
      函数g（x）=x+
      4
      x
      在区间（0，2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，
      √4
      ）上是单调减函数，在区间（
      √4
      ，+∞）上是单调增函数；
      ∴猜测：函数g（x）=x+
      b2
      x
      ，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，b），单调增区间为（b，+∞）．
      （3）由（2）可知，函数h（x）=x+
      8
      x
      ，x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，2
      √2
      ），单调增区间为（2
      √2
      ，+∞）．
      又由（1）可知，函数h（x）为奇函数．所以函数h（x）在（-2
      √2
      ，0）上为减函数，在（-∞，-2
      √2
      ）上为???函数．
      ∴函数h（x）=x+
      8
      x
      ，x∈（-∞，0）在x=-2
      √2
      时取得最大值，最大值为：hmax（x）=-4
      √2
      ．
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