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  • 函数f(x)=x2-1x+alnx在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=x2-
      1
      x
      +alnx在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是          ．

      试题解答

      a∈（-
      17
      2
      ，+∞）
      解：f′(x)=2x +
      1
      x 2
      +
      a
      x
      =
      2x3+ax+1
      x 2
      （x＞0）
      设g（x）=2x      3+ax+1，则g′（x）=6x2+a
      若a≥-6，则因为6x      2＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上为增函数
      若-24＜a＜-6，则由g′（x）=0，得x=±
      √-
      a
      6
      且2＞
      √-
      a
      6
      ＞1
      ∴g（x）在（1，
      √-
      a
      6
      ）上是减函数，在（
      √-
      a
      6
      ，2）上为增函数
      要使函数f(x)=x      2-
      1
      x
      +alnx在（1，2）上存在单调递增区间
      只需g（x）＞0在（1，2）上能成立
      只需g（1）=3+a＞0，或g（2）=17+2a＞0
      即a＞-
      17
      2
      ，此时-
      17
      2
      ＜a＜-6
      若a≤-24，则因为24＞6x      2＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＜0，从而f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上为减函数，不合题意
      综上所述，函数f(x)=x      2-
      1
      x
      +alnx在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是a∈（-
      17
      2
      ，+∞）
      故答案为a∈（-
      17
      2
      ，+∞）
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