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  • 已知两个函数g(x)=(1a-14)x(a≠0，a＞-1)，h(x)=(4a-1)1x+2(x＞0)，函数g（x）与h（x）的和函数为f（x）；（1）求函数f（x）；（2）当a=5时，求函数f（x）在x∈[1，2]上的值域；（3）若函数f（x）的最小值为m，且m＞2+√7，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知两个函数g(x)=(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x(a≠0，a＞-1)，h(x)=(4a-1)
      1
      x
      +2(x＞0)，函数g（x）与h（x）的和函数为f（x）；
      （1）求函数f（x）；
      （2）当a=5时，求函数f（x）在x∈[1，2]上的值域；
      （3）若函数f（x）的最小值为m，且m＞2+
      √7
      ，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数g（x）与h（x）的和函数为f（x），
      ∴f（x）=(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x+(4a-1)
      1
      x
      +2．
      （2）∵a=5，
      ∴f（x）=-
      1
      20
      x+
      19
      x
      +2，
      ∴f（x）在[1，2]上为单调减函数，
      ∴当x=1时，f（x）      max=
      419
      20
      ，
      当x=2时，f（x）      min=
      57
      5
      ，
      ∴当a=5时，求函数f（x）在x∈[1，2]上的值域为[
      57
      5
      ，
      419
      20
      ]．
      （3）f（x）=(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x+(4a-1)
      1
      x
      +2，
      ①当
      {
      1
      a
      -
      1
      4
      ＞0
      4a-1＞0
      a≠0，a＞-1
      ，即
      1
      4
      ＜a＜4时，
      ∵x＞0，
      ∴f（x）=(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x+(4a-1)
      1
      x
      +2≥2
      √(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x?(4a-1)
      1
      x
      +2=2
      √
      4-a
      4a
      ?(4a-1)
      +2，当且仅当(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x=(4a-1)
      1
      x
      时取等号，
      ∵函数f（x）的最小值为m，
      ∴m=2
      √
      4-a
      4a
      ?(4a-1)
      +2＞2+
      √7
      ，解得，
      1
      2
      ＜a＜2，
      ∴实数a的取值范围为
      1
      2
      ＜a＜2；
      ②
      {
      1
      a
      -
      1
      4
      ＜0
      4a-1＜0
      a≠0，a＞-1
      时，f（x）=(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x+(4a-1)
      1
      x
      +2在x∈（0，+∞）上只有最大值，没有最小值，不符合题意；
      ③
      {
      1
      a
      -
      1
      4
      ≥0
      4a-1≤0
      a≠0，a＞-1
      时，f（x）=(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x+(4a-1)
      1
      x
      +2在x∈（0，+∞）上单调递增，没有最小值，不符合题意；
      ④
      {
      1
      a
      -
      1
      4
      ＜0
      4a-1＞0
      a≠0，a＞-1
      时，f（x）=(
      1
      a
      -
      1
      4
      )x+(4a-1)
      1
      x
      +2在x∈（0，+∞???上单调递减，没有最小值，不符合题意；
      综合①②③④，实数a的取值范围为：
      1
      2
      ＜a＜2．
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