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对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：①函数f（x）是D上的单调函数；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数f（x）是闭函数．（1）判断函数，x∈[1，10]；g（x）=-x3，x∈R是不是闭函数，并说明理由；（2）若函数，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数

，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数

，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

（1）

令f'（x）=0
解得

舍）
∵

时f'（x）＜0；

时f'（x）＞0
∴f（x）在

上是减函数，在

上是增函数
∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
∴

不是闭函数．
②∵g'（x）=-x²≤0∴g（x）=-x³在R上是减函数，
设g???x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则

，解得

∴存在区间[-1，1]?R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数g（x）=-x³是闭函数
（2）函数

在定义域上是增函数
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则

，
故a，b是方程

的两个不相等的实根，
命题等价于

有两个不相等的实根，
当k≤-2时，

，
解得

，∴

．
当k＞-2时，

，无解．
∴k的取值范围是

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