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年级：: 全部; 初一; 初二; 初三

年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；（2）记g（x）=log 2(2x-1)．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；
（2）记g（x）=log ₂(2^x-1)．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

试题解答

见解析

（1）证明：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂

2^x₁+1

2^x₂+1

∵x₁＜x₂，∴0＜

2^x₁+1

2^x₂+1

＜1，∴log₂

2^x₁+1

2^x₂+1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增；
（2）解：∵g（x）=log ₂(2^x-1)，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log ₂(2^x-1)-log₂（2^x+1）=log₂（1-

2

2^x+1

）．
当1≤x≤2时，

2

5

≤

2

2^x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2^x+1

≤

3

5

∴m的取值范围是[log₂

1

3

，log₂

3

5

]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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