设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（Ⅰ）若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=f(x)+k-1log2x在[2，4]上是单调函数，求k的取值???围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f(x)=alog₂²x+blog₄x²+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（Ⅰ）若f(

)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=

f(x)+k-1

log₂x

在[2，4]上是单调函数，求k的取值???围．

见解析

解：（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1
由f(

)=0得a-b+1=0，
∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1
若a=0则f（x）=log₂x+1无最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值为0，只能使

{

a＞0

4a-(a+1)²

，知a=1，b=2．
∴f（x）=log₂²x+2log₂x+
设x＜0则-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1
又F（0）=0∴F(-x)=

{

log₂²x+2log₂x+1(x＞0)

(x=0)

-log₂²(-x)-2log₂(-x)-1(x＜0)

（2）g(x)=

log₂²x+2log₂x+1+k-1

log₂x

=log₂x+

log₂x

+2．x∈[2，4]．
得log₂x=t．则y=t+

+2，t∈[1，2]．
∴当k≤0，或

√k

≤1或

√k

≥2时，y为单调函数．
综上，k≤1或k≥4．

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