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  • 设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f(x)=√2x+1+k为闭函数，那么k的取值范围是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f(x)=
      √2x+1
      +k为闭函数，那么k的取值范围是（　　）

      试题解答

      A
      解：
      方法一：因为：f(x)=
      √2x+1
      +k为[-
      1
      2
      ，+∞)上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
      ∴
      {
      f(a)=a
      f(b)=b
      ，即f（x）=x在[-
      1
      2
      ，+∞)上有两个不等实根，即
      √2x+1
      =x-k在[-
      1
      2
      ，+∞)上有两个不等实根．
      ∴问题可化为y=
      √2x+1
      和y=x-k在[-
      1
      2
      ，+∞)上有
      两个不同交点．

      对于临界直线m，应有-k≥
      1
      2
      ，即k≤-
      1
      2
      ．
      对于临界直线n，y′=(
      √2x+1
      )′=
      1
      √2x+1
      ，
      令
      1
      √2x+1
      =1，得切点P横坐标为0，
      ∴P（0，1），
      ∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．
      综上，-1＜k≤-
      1
      2
      ．
      方法二：因为：f(x)=
      √2x+1
      +k为[-
      1
      2
      ，+∞)上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
      ∴
      {
      f(a)=a
      f(b)=b
      ，即f（x）=x在[-
      1
      2
      ，+∞)上有两个不等实根，即
      √2x+1
      =x-k在[-
      1
      2
      ，+∞)上有两个不等实根．
      化简方程
      √2x+1
      =x-k，得x2-（2k+2）x+k2-1=0．
      令g（x）=x      2-（2k+2）x+k2-1，则由根的分布可得
      {
      g(-
      1
      2
      )≥0
      k+1＞-
      1
      2
      △＞0
      ，即
      {
      (k+
      1
      2
      )2≥0
      k＞-
      3
      2
      k＞-1
      ，
      解得k＞-1．又
      √2x+1
      =x-k，∴x≥k，∴k≤-
      1
      2
      ．
      综上，-1＜k≤-
      1
      2
      ，
      故选A．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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