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  • 已知函数f（x）=x2+a|lnx-1|，g（x）=x|x-a|+2-2ln2，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（Ⅱ）若f(x)≥32a，x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意x1∈[1，+∞），总存在惟一的x2∈[2，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+a|lnx-1|，g（x）=x|x-a|+2-2ln2，a＞0．
      （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
      （Ⅱ）若f(x)≥
      3
      2
      a，x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围；
      （Ⅲ）对任意x      1∈[1，+∞），总存在惟一的x2∈[2，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）当a=1，x∈[1，e]时f（x）=x2-lnx+1，f′(x)=2x-
      1
      x
      ≥f′(1)=1，
      所以f（x）在[1，e]递增，所以f（x）      max=f（e）=e2（4分）
      （Ⅱ）①当x≥e时，f（x）=x      2+alnx-a，f'（x）=2x+
      a
      x
      ，a＞0，∴f（x）＞0恒成立，
      ∴f（x）在[e，+∞）上增函数，故当x=e时，y      min=f（e）=e2（5分）
      ②当1≤x＜e时，f（x）=x      2-alnx+a，f'（x）=2x-
      a
      x
      =
      2
      x
      （x+
      √
      a
      2
      ）（x-
      √
      a
      2
      ），
      （i）当
      √
      a
      2
      ≤1即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，所以f（x）在区间[1，e）上为增函数，
      故当x=1时，y      min=1+a，且此时f（1）＜f（e）=e2（7分）
      （ii）当1＜
      √
      a
      2
      ＜e，即2＜a＜2e2时，f'（x）在x∈（1，
      √
      a
      2
      ）时为负数，在间x∈（
      √
      a
      2
      ，e）时为正数，
      所以f（x）在区间[1，
      √
      a
      2
      ）上为减函数，在（
      √
      a
      2
      ，e]上为增函数，故当x=
      √
      a
      2
      时，ymin=
      3a
      2
      -
      a
      2
      ln，
      且此时f（
      √
      a
      2
      ）＜f（e）=e2（8分）
      （iii）当
      √
      a
      2
      ≥e，即a≥2e2时，f'（x）在x∈（1，e）时为负数，所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
      故当x=e时，y      min=f（e）=e2（9分）
      综上所述，函数y=f（x）的最小值为y      min=
      {
      1+a ，0＜a≤2
      3a
      2
      -
      a
      2
      ln
      a
      2
      2＜a≤2e2
      e2 ，a＞2e2
      （10分）
      所以当1+a≥
      3
      2
      a时，得0＜a≤2；当
      3
      2
      a-
      a
      2
      ln
      a
      2
      ≥
      3
      2
      a（2＜a＜2e2）时，无解；
      当      e2≥
      3
      2
      a（a≥2e2）时，得a≤
      √
      2
      3
      e不成立．
      综上，所求a的取值范围是0＜a≤2（11分）
      （Ⅲ）①当0＜a≤2时，g（x）在[2，+∞）单调递增，由g（2）=6-2a-2ln2≤1+a，
      得
      5
      3
      -
      2
      3
      ln2≤a≤2（12分）
      ②当1＜
      a
      2
      ≤2时，g（x）在[2，+∞）先减后增，由g(2)=2a-2-2ln2＜
      3a
      2
      -
      a
      2
      ln
      a
      2
      ，
      得
      a
      2
      +
      a
      2
      ln
      a
      2
      -2-2ln2＜0，设h(t)=t+tlnt-2-2ln2(t=
      a
      2
      )，h'（t）=2+lnt＞0（1＜t＜2），
      所以h（t）单调递增且h（2）=0，所以h（t）＜0恒成立得2＜a＜4（14分）
      ③当2＜
      a
      2
      ≤e2时，f（x）在[2，
      a
      2
      ]递增，在[
      a
      2
      ，a]递减，
      在[a，+∞）递增，所以由g(
      a
      2
      )＜
      3a
      2
      -
      a
      2
      ln
      a
      2
      ，
      得
      a2
      4
      -
      3a
      2
      +
      a
      2
      ln
      a
      2
      +2-2ln2＜0，设m（t）=t2-3t+tlnt+2-2ln2，
      则m'（t）=2t-2+lnt＞0（t∈（2，e      2），所以m（t）递增，且m（2）=0，
      所以m（t）＞0恒成立，无解．
      ④当a＞2e      2时，f（x）在[2，
      a
      2
      ]递增，在[
      a
      2
      ，a]递减，在[a，+∞）递增，
      所以由g(
      a
      2
      )＜e2得
      a2
      4
      -e2+2-2ln2＜0无解．
      综上，所求a的取值范围是a∈[
      5
      3
      -
      2
      3
      ln2，4)
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      必修1人教A版单选题高中数学

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