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  • 已知函数f(1x)=2x2+x+ax，其中x∈（0，1]（Ⅰ）当a=12时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在定义域内，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(
      1
      x
      )=
      2x2+x+a
      x
      ，其中x∈（0，1]
      （Ⅰ）当a=
      1
      2
      时，求f（x）的最小值；
      （Ⅱ）在定义域内，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：由题意知
      ∵f(
      1
      x
      )=
      2x2+x+a
      x
      ，x∈（0，1]
      设t=
      1
      x
      ∈[1，+∞），可求得函数f（x）的解析式为f（x）=ax+
      2
      x
      +1定义域为x∈[1，+∞）
      （Ⅰ）当a=
      1
      2
      时，f（x）=
      1
      2
      (x+
      4
      x
      )+1x∈[1，+∞）
      用定义证明f（x）的单调性如下：
      设1≤x      1＜x2≤2，则f（x1）-f（x2）=
      1
      2
      (x1+
      4
      x1
      )-
      1
      2
      ( x2 +
      4
      x2
      )=
      1
      2
      (x1-x2)(1-
      4
      x1x2
      )，
      ∵1≤x      1＜x2≤2
      ∴f（x      1）-f（x2 ）＞0
      故f（x）在[1，2]上单调递减．同理可证f（x）在[2，+∞）上单调递增．
      ∴f（x）的最小值为f（2）=3．
      （Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）=ax+
      2
      x
      +1=
      ax2+x+2
      x
      ＞0恒成立
      ∴等价于当x∈[1，+∞），ax      2+x+2＞0恒成立即可
      ∴a＞
      -x-2
      x2
      在x∈[1，+∞）恒成立 又
      1
      x
      ∈（0，1]
      令g（x）=
      -x-2
      x2
      =-2（
      1
      x
      ）2-
      1
      x
      =-2（
      1
      x
      +
      1
      4
      ）2+
      1
      8

      即g（x）∈[-3，0）
      ∴a≥0
      故a的取值范围[0，+∞）．
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