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  • 定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2
      （1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
      （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）当a=-1时，函数f（x）=1+x-x2=-（x-）2+
      ∴f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
      ∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（-∞，1）
      因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
      ∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
      （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
      则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3
      ∴-3≤ax      2+x+1≤3
      ∴      ≤a≤，即--≤a≤-在[1，4]上恒成立，
      ∴（-      -）max≤a≤（-）min，
      令t=      ，则t∈[，1]
      设g（t）=-4t      2-t=-4（t+）2+，则当t=时，g（t）的最大值为-
      再设h（t）=2t      2-t=2（t-）2-，则当t=时，h（t）的最小值为-
      ∴（-      -）max=-，（-）min=-
      所以，实数a的取值范围是[-      ，-]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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