已知函数f(x)=a-12x+1．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=a-

2^x+1

．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

见解析

解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=a-

2^x₁+1

-a+

2^x₂+1

2^x₁-2^x₂

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，(1+2^x₁)(1+2^x₂)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即a-

2^-x+1

=-a+

2^x+1

，
解得：a=

．∴f(x)=

2^x+1

．
（3）由（2）知f(x)=

2^x+1

（4），∵2^x+1＞1（5），∴0＜

2^x+1

＜1（6），∴-1＜-

2^x+1

＜0，∴-

＜f(x)＜

所以f（x）的值域为(-

，

)．

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