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已知函数是奇函数(a∈R).(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-(m-2)t)+f(t2-m-1)<0恒成立,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数
是奇函数(a∈R).
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)试判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-(m-2)t)+f(t
2
-m-1)<0恒成立,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
(Ⅰ)由题意可得:f(x)=
∵f(x)是奇函数∴f(-x)=-f(x)
即
∴a-2=a,即a=1(4分)
即
(Ⅱ)设x
1
,x
2
为区间(-∞,+∞)内的任意两个值,且x
1
<x
2
,
则
,
,
∵f(x
1
)-f(x
2
)=
=
<0
即f(x
1
)<f(x
2
)∴f(x)是(-∞,+∞)上的增函数.(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,且是奇函数.
∵f(t
2
-(m-2)t)+f(t
2
-m-1)<0
∴f(t
2
-(m-2)t)<-f(t
2
-m-1)=f(-t
2
+m+1)
∴t
2
-(m-2)t<-t
2
+m+1(13分)
即2t
2
-(m-2)t-(m+1)<0对任意t∈R恒成立.
只需△=(m-2)
2
+4×2(m+1)=m
2
+4m+12<0,
解之得m∈?(16分)
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