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  • 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0）及f（1）的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f(2)=2，un=f(2n)2n(n∈N*)，求证数列{un}是等差数列，并求{un}的通项公式．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
      （1）求f（0）及f（1）的值；
      （2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
      （3）若f(2)=2，u      n=
      f(2n)
      2n
      (n∈N*)，求证数列{un}是等差数列，并求{un}的通项公式．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令a=b=0，代入得f（0）=0?f（0）+0?f（0）=0．
      令a=b=1，代入得f（1）=1?f（1）+1?f（1），则f（1）=0．
      （2）∵f（1）=f[（-1）      2]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
      令a=-1，b=x，则f（-x）=f（-1?x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
      因此f（x）是奇函数．
      （3）因为      un+1=
      f(2n+1)
      2n+1
      =
      f(2?2n)
      2n+1
      =
      2f(2n)+2nf(2)
      2n+1
      =
      f(2n)
      2n
      +
      f(2)
      2
      =un+1，即un+1-un=1，所以{un}是等差数列．又首项u1=
      f(2)
      2
      =1，公差为1，
      所以a      n=n，Sn=
      n(n+1)
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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