已知函数f（x）=ax-1ax+1（a＞1）（1）判断函数f（x）的奇偶性（2）求f（x）的值域（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

a^x-1

a^x+1

（a＞1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）求f（x）的值域
（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

见解析

解：（1）f（x）的定义域为R，
f（-x）=

a^-x-1

a^-x+1

1-ax

1+ax

=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=

a^x-1

a^x+1

a^x+1-2

a^x+1

=1-

a^x+1

．
∴a^x＞0，∴0＜

a^x+1

＜2，
∴-1＜1-

a^x+1

＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）
（3）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

a^x₁-1

a^x₁+1

a^x₂-1

a^x₂+1

(a^x₁-1)(a^x₂+1)-(a^x₁+1)(a^x₂-1)

(a^x₁+1)(a^x₂+1)

2(a^x₁-a^x₂)

(a^x₁+1)(a^x₂+1)

∵a＞1，x₁＜x₂，∴a^x₁＜a^x₂
又∵a^x₁+1＞0， a^x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

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