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  • 设f(x)=x+4x，（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f(x)=x+
      4
      x
      ，
      （1）判断f（x）的奇偶性；
      （2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f(x)=x+
      4
      x
      知，定义域为{x|x≠0}
      显然，定义域关于原点对称．
      f(-x)=-x+
      4
      -x
      =-(x+
      4
      x
      )=-f（x）
      所以．f（x）为奇函数
      （2）①任取x      1＜x2且x1，x2∈（0，2]
      由题意，f（x      1）-f（x2）=x1+
      4
      x1
      -(x2+
      4
      x2
      )
      =（x      1-x2）+4
      x2-x1
      x1x2

      =（x      1-x2）（1-
      4
      x1x2
      ）
      因为x      1＜x2且x1，x2∈（0，2]
      则x      1-x2＜0；
      0＜x      1x2＜4，
      4
      x1x2
      ＞1，所以1-
      4
      x1x2
      ＜0
      =（x      1-x2）（1-
      4
      x1x2
      ）＞0
      故f（x      1）＞f（x2）
      所以，f（x）在（0，2]为上的减函数．
      ②任取x      1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
      由题意，f（x      1）-f（x2）=x1+
      4
      x1
      -(x2+
      4
      x2
      )
      =（x      1-x2）+4
      x2-x1
      x1x2

      =（x      1-x2）（1-
      4
      x1x2
      ）
      因为x      1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
      则x      1-x2＜0；
      x      1x2＞4，0＜
      4
      x1x2
      ＜1，所以1-
      4
      x1x2
      ＞0
      =（x      1-x2）（1-
      4
      x1x2
      ）＜0
      故f（x      1）＜f（x2）
      所以，f（x）在为[2，+∞）上的增函数???
      ∴f（x）在（0，2]上为减函数，[2，+∞）上为增函数．
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