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设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值.(1)当x∈[-12,12]时,求出f(x)的解析式,当x∈[k-12,k+12](k∈Z)时,写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式;(2)证明函数f(x)是偶函数(x∈R);(3)若e-12<a<1,求证方程f(x)-loga√x=0有且只有一个实根,并求出这个实根.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值.
(1)当x∈[-
1
2
,
1
2
]时,求出f(x)的解析式,当x∈[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈Z)时,写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式;
(2)证明函数f(x)是偶函数(x∈R);
(3)若
e
-
1
2
<a<1,求证方程f(x)-log
a
√
x
=0有且只有一个实根,并求出这个实根.
试题解答
见解析
解:(1)当x∈[-
1
2
,
1
2
]时,由定义知:x与0距离最近,f(x)=|x|,x∈[-
1
2
,
1
2
].
当x∈[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈Z)时,由定义知:k为与x最近的一个整数,故f(x)=|x-k|,x∈[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈Z)
(2)对任何x∈R,函数f(x)都存在,且存在k∈Z,满足
k-
1
2
≤x≤k+
1
2
,f(x)=|x-k|.由k-
1
2
≤x
≤k+
1
2
可以得出-k-
1
2
≤-x≤-k+
1
2
(k∈z)
即-x∈[-k-
1
2
,-k+
1
2
](-k∈Z).
由(1)的结论,f(-x)=|-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),即f(x)是偶函数.
(3)f(x)-log
a
√
x
=0,即|x-k|-
1
2
log
a
x=0.
①当x>1时,|x-k|≥0>
1
2
log
a
x,∴|x-k|-
1
2
log
a
x=0没有大于1的实根;
②容易验证x=1为方程|x-k|-
1
2
log
a
x=0的实根;
③当
1
2
<x<1时,方程|x-k|-
1
2
log
a
x=0变为1-x-
1
2
log
a
x=0.
设H(x)=
1
2
log
a
x-(1-x)(
1
2
<x<1).则H′(x)=
1
2xlna
+1
<
1
2xlne
-
1
2
+1
=-
1
x
+1<0,
所以当
1
2
<x<1时,H(x)为减函数,H(x)>H(1)=0.所以方程没有
1
2
<x<1的实根;
④当0<x≤
1
2
时,方程|x-k|-
1
2
log
a
x=0变为x-
1
2
log
a
x=0.
设G(x)=
1
2
log
a
x-x(0<x≤
1
2
),G(x)为减函数,G(x)≥G(
1
2
)=H(
1
2
)>H(1)=0,所以方程没有0<x≤
1
2
的实根. 综上可知,当
e
-
1
2
<a<1时,方程f(x)-log
a
√
x
=0有且仅有一个实根,实根为1.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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