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已知函数f(x)=|x+1x|(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求证:函数f(x)在(0,1)上是单调减函数,在[1,+∞)上是单调增函数;(3)用描点法画出函数f(x)的图象;根据图象写出函数f(x)的单调区间及值域.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=|x+
1
x
|
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求证:函数f(x)在(0,1)上是单调减函数,在[1,+∞)上是单调增函数;
(3)用描点法画出函数f(x)的图象;根据图象写出函数f(x)的单调区间及值域.
试题解答
见解析
解:(1)∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称;(2分)
又∵f(-x)=|-x+
1
-x
|=|x+
1
x
|=f(x),∴f(x)是偶函数.(4分)
(2)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+
1
x
,
则f′(x)=1-
1
x
2
易得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0
故函数f(x)在(0,1)上是单调减函数,在[1,+∞)上是单调增函数;
(3)函数f(x)图象如图所示(14分)
函数f(x)的单调增区间是[-1,0),[1,+∞),
单调减区间是(-∞,-1],(0,1],值域是[2,+∞)(16分)
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