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  • 已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）?f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a+1）≤3√9，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）?f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
      （1）判断f（x）的奇偶性；
      （2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；
      （3）若a≥0且f（a+1）≤
      3√9
      ，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）?f（-1），
      ∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R
      ∴f（x）为偶函数．
      （2）若x≥0，则f（x）=f(
      √x
      ?
      √x
      )=f(
      √x
      )?f(
      √x
      )=[f(
      √x
      )]2≥0．
      若存在x      0＞0，使得f（x0）=0，则f(27)=f(x0?
      27
      x0
      )=f(x0)f(
      27
      x0
      )=0，与已知矛盾，
      ∴当x＞0时，f（x）＞0
      设0≤x      1＜x2，则0≤
      x1
      x2
      ＜1，
      ∴f（x      1）=f(
      x1
      x2
      ?x2)=f(
      x1
      x2
      )?f（x2），
      ∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
      ∴0≤f(
      x1
      x2
      )＜1，
      ∴f（x      1）＜f（x2），
      故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
      （3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）?f（9）=f（3）?f（3）?f（3）=[f（3）]      3，
      ∴9=[f（3）]      3，
      ∴f（3）=
      3√9
      ，
      ∵f（a+1）≤
      3√9
      ，
      ∴f（a+1）≤f（3），
      ∵a≥0，
      ∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞），
      ∵函数在[0，+∞）上是增函数．
      ∴a+1≤3，即a≤2，
      又a≥0，
      故0≤a≤2．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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