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  • 已知函数f(x)=xm+2x且f(4)=92．（I）求m的值；（II）判定f（x）的奇偶性；（III）证明f（x）在[√2，+∞)上是单调递增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=xm+
      2
      x
      且f(4)=
      9
      2
      ．
      （I）求m的值；
      （II）判定f（x）的奇偶性；
      （III）证明f（x）在[
      √2
      ，+∞)上是单调递增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵f（4）=
      9
      2
      ，
      ∴f（4）=4      m+
      2
      4
      =
      9
      2
      ，
      ∴4      m=4，m=1…4
      （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x+
      2
      x
      ，
      ∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，…5
      又f（-x）=-x-
      2
      x
      =-（x+
      2
      x
      ）=-f（x），
      ∴f（x）是奇函数…8
      （Ⅲ）设
      √2
      ≤x1＜x2，则
      f（x      1）-f（x2）=x1+
      2
      x1
      -（x2+
      2
      x2
      ）=（x1-x2）（1-
      2
      x1x2
      ）=（x1-x2）
      (x1x2-2)
      x1x2
      …11
      ∵
      √2
      ≤x1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，x1x2＞2，
      ∴
      (x1x2-2)
      x1x2
      ＞0，…13
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
      ∴f（x）在[
      √2
      ，+∞)上是单调递增函数．
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