已知定义在R的函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-23，（1）求征，f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值与最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R的函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-

，
（1）求征，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值与最小值．

试题解答

见解析

解：（1）证明：令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0），
当x=1，y=0时，则f（1）+f（0）=f（1）
∴f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（x）=-f（-x）
∴f（x）为奇函数
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由题意得f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R是减函数；
（3）∵f（1）=-

∴f（2）=-

f（3）=-2
∵f（x）在[-3，6]上是减函数，
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=2
f（x）_min=f（6）=-4

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必修1 人教A版单选题高中数学

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