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已知函数f(x)=lnx+1x-1(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数;(Ⅱ)若x∈[2,6],f(x)=lnx+1x-1>lnm(x-1)(7-x)恒成立,求实数m的取值范围;(Ⅲ)当n∈N*时,试比较f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)与2n+2n2的大小关系.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=ln
x+1
x-1
(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数;
(Ⅱ)若x∈[2,6],f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)当n∈N
*
时,试比较f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)与2n+2n
2
的大小关系.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)由
x+1
x-1
>0,解得x<-1或x>1,
∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=ln
-x+1
-x-1
=ln
x-1
x+1
=ln(
x+1
x-1
)
-1
=-ln
x+1
x-1
=-f(x)
∴f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数.(4分)
(Ⅱ)由x∈[2,6]时,f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,
∴
x+1
x-1
>
m
(x-1)(7-x)
>0,∵x∈[2,6]
∴0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]成立
令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)
2
+16,x∈[2,6],由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,x∈[2,6]时,g(x)
min
=g(6)=7
∴0<m<7(8分)
(Ⅲ)f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)=ln
3
1
×
5
3
×…×
2n+1
2n-1
=ln(2n+1)
构造函数h(x)=ln(1+x)-(x+
x
2
2
)(x>0),
h′(x)=
1
x+1
-x-1=
-x
2
-2x
x+1
当x>0时,h'(x)<0,∴h(x)=ln(1+x)-(x+
x
2
2
)在(0,+∞)单调递减,
∴…h(x)<h(0)=0(12分)
当x=2n(n∈N
*
)时,ln(1+2n)-(2n+2n
2
)<0∴ln(1+2n)<2n+2n
2
(14分)
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