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已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x2.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)是否存在实数a,b(a≠b),使得y=f(x)在x∈[a,b]上的值域为[1b,1a],若存在,求出实数a,b的值; 若不存在,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x
2
.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)是否存在实数a,b(a≠b),使得y=f(x)在x∈[a,b]上的值域为[
1
b
,
1
a
],若存在,求出实数a,b的值; 若不存在,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)由题意,根据奇函数性质:f(x)=-f(-x)
当x<0时,-x>0,所以当x<0时的解析式为:f(x)=-f(-x)=2x+x
2
∵f(0)=0
∴f(x)=
{
2x-x
2
,x>0.
2x+x
2
,x≤0.
(2)由
{
b>a
1
a
>
1
b
?ab>0.
若a>0,b>0.
情形一 a<1<b:f(x)=2x-x
2
的最大值为1.得a=1(舍).
情形二 a<b<1:f(a)<1,f(b)<1且在[a,b]上单调增,又
1
a
>1(不符)
情形三 1≤a<b:[a,b]上单调减得
{
f(a)=
1
a
f(b)=
1
b
?
{
a=1
b=
1+
√
5
2
(符合)
若a<0,b<0,同理可得a=
-1-
√
5
2
,b=-1
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