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  • 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+π2)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（ ）①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴③（-π，0）是它图象的一个对称中心；④当x=π2时，它一定取最大值试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+
      π
      2
      )为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（　　）
      ①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
      ③（-π，0）是它图象的一个对称中心；④当x=
      π
      2
      时，它一定取最大值

      试题解答

      B
      证明：由已知可得：
      f（-x）=-f（x） …（1）
      f（-x-
      π
      2
      ）=-f（x+
      π
      2
      ）…（2）
      f（-x+
      π
      2
      ）=f（x+
      π
      2
      ）…（3）
      由（3）知 函数f（x）有对称轴x=
      π
      2

      由（2）（3）得 f（-x-
      π
      2
      ）=-f（-x+
      π
      2
      ）；
      令z=-x+
      π
      2
      则-x-
      π
      2
      =z-π，
      ∴f（z-π）=-f（z），
      故有f（z-π-π）=-f（z-π），
      两者联立得 f（z-2π）=f（z），
      可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π；
      由（1）知：f（-z）=-f（z），代入上式得：f（z-2π）=-f（-z）；
      由此式可知：函数f（x）有对称中心（-π，0）
      由上证知①③是正确的命题．
      故应选B．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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