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  • 已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=ax+b1+x2为奇函数，且f(12)=25．（1）求实数a，b的值；（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      为奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）求实数a，b的值；
      （2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
      （3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x)=
      ax+b
      1+x2
      为奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      a
      2
      +b
      1+(
      1
      2
      )2
      =
      2
      5

      ∴f(-
      1
      2
      )=
      -
      a
      2
      +b
      1+(-
      1
      2
      )2
      =-f(
      1
      2
      )=-
      2
      5
      ，解得：a=1，b=0．
      ∴f(x)=
      x
      1+x2

      （2）证明：在区间（-1，1）上任取x      1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，f(x1)-f(x2)=
      x1
      1+x12
      -
      x2
      1+x22
      =
      x1(1+x22)-x2(1+x12)
      (1+x12)(1+x22)
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x12)(1+x22)

      ∵-1＜x      1＜x2＜1
      ∴x      1-x2＜0，1-x1x2＞0，（1+x12）＞0，（1+x22）＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
      故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
      （3）∵f（t-1）+f（t）＜0
      ∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
      ∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
      ∴
      {
      t＜1-t
      -1＜t＜1
      -1＜1-t＜1

      ∴0＜t＜
      1
      2

      故关于t的不等式的解集为(0，
      1
      2
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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