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  • 已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+x．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并???定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+x．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）判断f（x）的单调性，并???定义证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+x．①
      ∴f（-x）-g（-x）=-x      3+x2-x，即-f（x）-g（x）=-x3+x2-x ②
      ①-②得2f（x）=2x      3+2x，∴f（x）=x3+x
      （2）函数f（x）为R上的单调增函数
      证明：设x      1，x2∈R，且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=x13+x1-（x23+x2）=x13-x23+（x1-x2）
      =（x      1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+1）
      ∵x      1，x2∈R，且x1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，x12+x1x2+x22+1=（x1+
      x2
      2
      ）2+
      3x22
      4
      +1＞0
      ∴（x      1-x2）（x12+x1x2+x22+1）＜0
      即f（x      1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在R上为增???数．
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