对于函数f(x)=2x+a2x-1，（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）当a为何值时，f（x）为奇函数；（Ⅲ）写出（Ⅱ）中函数的单调区间，并用定义给出证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于函数f(x)=

2^x+a

2^x-1

，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（Ⅲ）写出（Ⅱ）中函数的单调区间，并用定义给出证明．

见解析

（1）解：由题意可得，2^x-1≠0 即x≠0
∴定义域为{x|x≠0}
（2）解：由f（x）是奇函数，则对任意x∈{x|x≠0}
f(-x)=

2^-x+a

2^-x-1

a?2^x+1

2^x-1

=-f(x)=-

2^x+a

2^x-1

化简得（a-1）2^x=a-1∴a=1
∴a=1时，f（x）是奇函数
（3）当a=1时，f(x)=

2^x-1

+1的单调递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂ 则f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁-1

2^x₂-1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

∵0＜x₁＜x₂ y=2^x 在R上递增∴2^x₂＞2^x₁＞1
∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₁-1＞0，2^x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．同理：f（x）在（-∞，0）上单调递减．
综上???f(x)=

2^x-1

+1 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减．

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