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  • 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=3，f（2）=12．（1）求a，b，c的值；（2）证明：函数f（x）在R上为增函数；（3）若关于x的不等式f（x2-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=3，f（2）=12．
      （1）求a，b，c的值；
      （2）证明：函数f（x）在R上为增函数；
      （3）若关于x的不等式f（x      2-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x），
      ∴b=0，
      ∵f（1）=3，f（2）=12．
      ∴
      {
      a+c=3
      8a+2c=12
      ，
      解得
      {
      a=1
      c=2
      ，
      ∴a，b，c的值分别为1，0，12；
      （2）由（1）得f（x）=x      3+2x，
      设x      1，x2∈R，x1＜x2，
      ∴f(x      1)-f(x2)=x
      3
      1
      +2x1-(x
      3
      2
      +2x2)
      =(x      1-x2)[(x1+
      1
      2
      x2)2+
      3
      4
      x22+2]，
      ∵x      1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      ∴函数f（x）在R上为增函数；
      （3）由（1）和（2）得到函数为奇函数且为增函数，
      ∵关于x的不等式f（x      2-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，
      ∴f（x      2-4）＜-f（kx+2k），
      ∴f（x      2-4）＜f（-kx-2k）在（0，1）上恒成立，
      ∴x      2-4＜-kx-2k在（0，1）上恒成立，
      ∴x      2+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，
      设g（x）=x      2+kx+2k-4，
      ∴
      {
      g(0)≤0
      g(1)≤0
      ，
      ∴
      {
      2k-4≤0
      3k-3≤0
      ，
      ∴k≤1，
      ∴k的取值范围为（-∞，1]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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