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  • 已知函数f(x)=bx+cax2+1(a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x???有最大值12，且f(1)＞25，试求函数f（x）的解析式．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      bx+c
      ax2+1
      (a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x???有最大值
      1
      2
      ，且f(1)＞
      2
      5
      ，试求函数f（x）的解析式．

      试题解答

      见解析
      解：由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即
      bx+c
      ax2+1
      +
      -bx+c
      ax2+1
      =0，
      ∴c=0．
      又a＞0，b是自然数，
      ∴当x＜0时，f（x）＜0，
      当x＞0时，f（x）＞0，
      故f（x）的最大值
      1
      2
      必在x＞0时取得；
      当x＞0时，f（x）=
      bx
      ax2+1
      =
      b
      ax+
      1
      x
      ≤
      b
      2
      √a
      ，
      当且仅当ax=
      1
      x
      ，即x=
      1
      √a
      时取得
      b
      2
      √a
      =
      1
      2
      ，即a=b2，
      又f（1）＞
      2
      5
      ，
      ∴
      b
      b2+1
      ＞
      2
      5
      ，
      ∴2b      2-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
      ∴
      1
      2
      ＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1，
      ∴f（x）=
      x
      x2+1
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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