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先根据函数的奇偶性求出函数的周期，然后根据奇函数g（x）过点（-1，3）???知g（-1）=3，g（1）=-3，且g（x）=f（x-1），可得地f（-2）=3，根据周期性可知f（2009）+f（2010）=f（1）+f（-2），从而求出所求．
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，故f（-x）=f（x），
定义在R上的奇函数g（x），且g（x）=f（x-1），故有f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1）=f（x+3），故T=4，
定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3），∴g（-1）=3，g（1）=-3
且g（x）=f（x-1），可得地f（-2）=3
由奇函数的性质知，g（0）=0，故f（-1）=f（1）=0
则f（2009）+f（2010）=f（1）+f（-2）=3
故答案为：3．
