已知函数，g（x）=ax3+cx2+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，（1）求a，b，c，d的值；（2）求证：g（x）在R上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数

，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g（x）在R上是增函数．

见解析

（1）因为函数

，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
∴

解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax³+cx²-bx+d=-ax³-cx²-bx-d
∴d=0…（2分）
∴

，g（x）=ax³+bx
由f（1）=

=2得a=2b-1，…（3分）
代入f（x）中得

，
∵f（2）=

＜3，即

，
∴

，所以b＞0，由此可解得：

…（4分）
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1???c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x³+x，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，…（1分）

∵x₂-x₁＞0，

，（如中间没配方，则-2分）
∴g（x₂）＞g（x₁），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）

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