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  • 已知函数f （x）=是奇函数，且f （1）=2．（1）求f （x） 的解析式；（2）判断函数f （x）的单调性，并证明你的结???；（3）若x1，x2∈（1，+∞），且x1≠x2．求证．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f （x）=是奇函数，且f （1）=2．
      （1）求f （x） 的解析式；
      （2）判断函数f （x）的单调性，并证明你的结???；
      （3）若x      1，x2∈（1，+∞），且x1≠x2．求证．

      试题解答

      见解析
      ：（1）∵f （x）=为奇函数，且 f（1）==2
      ∴f（-1）=      =-f（1）=-2，解得：a=1，b=0．
      ∴f（x）=      ．
      （2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，在区间（0，1）上是减函数，在（-1，0）上单调递减，在（-∞，-1）上单调递增
      证明：∵函数的定义域为{x|x≠0}
      在区间（0，+∞）上任取x      1，x2，令0＜x1＜x2
      ∴f（x      1）-f（x2）==
      ∵0＜x      1＜x2＜1
      ∴x      1-x2＜0，1-x1x2＞0，x1x2＞0，
      ①当1＜x      1＜x2时，x1x2-1＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
      故函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
      ②x      1＜x2≤1时，x1x2-1＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
      故函数f（x）在区间（0，1）上是减函数
      根据奇函数的对称性可知，函数在（-1，0）上单调递减，在（-∞，-1）上单调递增
      （3）∵x      1，x2∈（1，+∞），且x1≠x2．
      ∴      =
      =      ==＜0
      ∴
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