• 已知函数是奇函数,并且函数f(x)的图象经过点(1,3)(1)求实数a,b的值;(2)当x>0时,求出函数f(x)的递增区间,并用定义进行证明;(3)求函数f(x)当x>0时的值域.试题及答案-单选题-云返教育

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      已知函数是奇函数,并且函数f(x)的图象经过点(1,3)
      (1)求实数a,b的值;
      (2)当x>0时,求出函数f(x)的递增区间,并用定义进行证明;
      (3)求函数f(x)当x>0时的值域.

      试题解答


      见解析
      (1)∵f(x)=是奇函数,
      ∴f(-x)+f(x)=
      +=(1+ax2)?=0,
      ∴b=0;
      ∴f(x)=
      ,又f(x)的图象经过点(1,3),
      =3,
      ∴a=2;
      ∴f(x)=2x+

      (2)当x>0时,f(x)=2x+
      在[,+∞)上单调递增.
      证明:令
      ≤x1<x2
      则f(x
      2)-f(x1)=2(x2-x1)+(-)=(x2-x1)(2-),
      ≤x1<x2
      ∴0<
      <2,于是2->0,
      ∴(x
      2-x1)(2-)>0,
      ∴f(x
      2)>f(x1).
      ∴当x>0时,f(x)=2x+
      在[,+∞)上单调递增.
      (3)∵f(x)=2x+
      (x>0),
      ∴f′(x)=2-
      ,由f′(x)≥0可得x≥,由f′(x)<0可得0<x<
      ∴f(x)=2x+
      在[,+∞)上单调递增,在(0,]上单调递减.
      ∴f(x)=2x+
      在x=处取到最小值2
      ∴当x>0时f(x)=2x+
      的值域为:[2,+∞).
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