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  • 已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．（Ⅰ）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；（Ⅱ）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞） 上是增函数； 命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较f（1）和的大小．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
      （Ⅰ）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
      （Ⅱ）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）      2，+∞） 上是增函数； 命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
      （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较f（1）和      的大小．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）设f（x）=g（x）+h（x）----①，其中g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，
      则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=-g（x）+h（x），----②
      联解①、②，可得g（x）=      [f（x）-f（-x）]=（a+1）x
      h（x）=      [f（x）+f（-x）]=x2+lg|a+2|…（4分）
      （Ⅱ）∵函数f（x）=（x+      ）2-（a+1）2+lg|a+2|在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数．
      ∴（a+1）      2≥-，解之得a≥-1或a≤-且a≠-2．…（6分）
      又∵函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，
      ∴a＜-1且a≠-2．…（8分）
      因此，命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-      且a≠-2；命题Q为真的条件是a＜-1且a≠-2．
      ∴命题P、Q有且仅有一个是真命题时，a＞-      …（10分）
      （Ⅲ）f（1）=1      2+（a+1????1+lg|a+2|，即f（1）=（a+2）+lg|a+2|，
      ∵a＞-      ，∴f（1）=a+2+lg（a+2），
      ∵t=a+2+lg（a+2），t是关于a的单调增函数
      ∴f（1）≥-      +2+lg（-+2）=+lg＞+lg=-=
      即f（1）＞      成立，故f（1）要大于．…（14分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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